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해석개론 - 연습문제 1.6.7
[출처] : 김김계 해석개론 연습문제 1.6.7 문제 임의의 자연수 $n = 1, 2, \dots$ 에 대하여, $\sqrt{n-1} + \sqrt{n+1}$ 은 무리수임을 보여라. 먼저, 주어진 수 $x = \sqrt{n-1} + \sqrt{n+1}$ 에 대해, $x^2 = 2n + 2 \sqrt{n^2-1}$ 이다. 따라서, $\sqrt{n^2-1}$이 모든 자연수에 대하여 무리수임을 보이는 것으로 충분하다. (만약 $x$가 유리수라면 $x^2$ 도 유리수이고, 이때 $\sqrt{n^2-1}$ 이 무리수일 수 없으므로) 어떤 수 제곱수 $a^2$ 과 $b^2$ 에 대해 $a^2+1 = b^2$ 이면, $(b-a)(b+a) = 1$ 이어야 하고 $b>a, a, b \in \N$ 이어야 하는데 이러한 두..