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수학/Analysis, Calculus - Problems

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해석개론 - 연습문제 1.6.7 [출처] : 김김계 해석개론 연습문제 1.6.7 문제 임의의 자연수 $n = 1, 2, \dots$ 에 대하여, $\sqrt{n-1} + \sqrt{n+1}$ 은 무리수임을 보여라. 먼저, 주어진 수 $x = \sqrt{n-1} + \sqrt{n+1}$ 에 대해, $x^2 = 2n + 2 \sqrt{n^2-1}$ 이다. 따라서, $\sqrt{n^2-1}$이 모든 자연수에 대하여 무리수임을 보이는 것으로 충분하다. (만약 $x$가 유리수라면 $x^2$ 도 유리수이고, 이때 $\sqrt{n^2-1}$ 이 무리수일 수 없으므로) 어떤 수 제곱수 $a^2$ 과 $b^2$ 에 대해 $a^2+1 = b^2$ 이면, $(b-a)(b+a) = 1$ 이어야 하고 $b>a, a, b \in \N$ 이어야 하는데 이러한 두..
KAIST PoW 2019-06. Simple but not too simple integration KAIST PoW (Problem of the Week) 2019-06. 내가 본 KAIST PoW 문제 중에는 가장 쉬운 축에 속하는 문제인데, Best Solution에는 상당히 어려운 해석학 지식을 요구하는 풀이가 꽤 많이 적혀있었다. 그냥 적분으로도 계산 가능하지만... 문제 Compute the following Integral. $$\int_{0}^{{\pi}/{2}} \log (2\cos{x}) \ dx$$ 스포방지선 풀이 먼저, 약간의 관찰로 다음을 생각해 볼 수 있다. $$\int_{0}^{{\pi}/{2}} \log (2\cos{x}) \ dx = \int_{0}^{{\pi}/{2}} \log (2\sin{x}) \ dx $$ 당연하게도, 적분하려는 두 함수가 서로 $\pi / 4$ 에..
수열의 극한 문제 문제 출처 : 서울대학교 해석개론 및 연습 1 기말고사 (2019) 오늘 본 해석개론 시험에서, 대학 1학년 미적분학 수준에서 그렇게 어렵지 않게 잘 풀 수 있는 문제가 하나 나와서 포스팅해 보려고 한다. Analysis 쪽에서 나머지 문제들을 다 풀어 보고 싶은데, 일단 시험때 못푼 문제가 있고 지금은 남은 시험이 있으니 제일 쉬운 거부터. 언젠가 김김계나 PMA의 연습문제들도 풀어볼것 같고, 아무튼 여름방학 중에 수학 포스팅도 많이 해보려고 한다. 문제 $a_n$ 이 다음과 같이 정의되어 있을 때, $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n$ 의 값을 구하여라. $$a_n = \frac{1}{n} ((n+1)(n+2)\cdots(2n-1)(2n))^{\frac1n}$$ 풀이 딱히 스포..