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수학/Number Theory - Problems

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2013 IMO Problem 1 / BOJ 15948 간단한 문제 2018 UCPC Problem K 와 2013 IMO Problem 1이 사실상 같은 문제다. 정확히는 UCPC 문제의 출처가 이 문제고, 저 UCPC 문제 포스팅을 하려다 보니 그냥 원본 문제도 같이 포스팅하려고 한다. 문제 임의의 자연수 $n$과 $k$에 대하여, 다음을 만족하는 $k$개의 자연수 $m_1, m_2, \dots m_k$ 가 있음을 보여라. $$1 + \frac{2^k-1}{n} = (1 + \frac{1}{m_1})(1+\frac{1}{m_2}) \cdots (1+\frac{1}{m_k})$$ 풀이 1 : 수학적 귀납법 $k$에 대한 수학적 귀납법을 써 보자. $k = 1$ 일 때, 좌변은 $1 + \frac{1}{n}$ 이고, $m_1 = n$ 이면 되므로 임의의 $n$에 대해서 ..
2019 IMO Problem 4 누군가 2019 IMO 문제지를 던져 줬는데 (어제 시험이 끝났다고 하는데, 이렇게 빨리 공개되는지는 몰랐다), 일단 내 실력으로 상식적인 시간내에 풀수있을 번호는 1번과 4번뿐이고 4번이 정수 문제길래 천천히 풀어보기로 했다. 고등학교때 올림피아드 준비를 했던것도 아니고, 이제막 정수론 공부해보려고 하는 정도라서 엄청 오래 걸렸다;;; 문제 다음 조건을 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(k, n)$ 을 모두 구하여라. $$k!=(2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1})$$ (스포 방지선) 풀이 왜 이런 notation을 쓰는지는 잘 모르겠지만, $\nu_{a}(x)$ 는 $x$ 가 $a^{n}$ 으로 나누어 떨어지는 최대의 정수 $n$을 의미한다. (즉, ..